有限数学示例

$\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{9 + 4 x} = - 2$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $\sqrt{9 + 4 x}$ 。

$\sqrt{2 x + 1} = - 2 + \sqrt{9 + 4 x}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 x + 1}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x + 1}$ 重写成 ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 x + 1)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$2 x + 1 = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ 重写为 $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ 。

$2 x + 1 = (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$2 x + 1 = - 2 (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $\sqrt{9 + 4 x}$ 的左侧。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \cdot \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

乘以 $\sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.3.1

对 $\sqrt{9 + 4 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} \sqrt{9 + 4 x}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.2

对 $\sqrt{9 + 4 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} {\sqrt{9 + 4 x}}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

将 ${\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$ 重写为 $9 + 4 x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 + 4 x}$ 重写成 ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.4.1

约去公因数。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4.2

重写表达式。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.5

化简。

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 9 + 4 x$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$2 x + 1 = 13 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

解题步骤 3.3.1.3.3

从 $- 2 \sqrt{9 + 4 x}$ 中减去 $2 \sqrt{9 + 4 x}$ 。

$2 x + 1 = 13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

解题步骤 4

求解 $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$ 。

$13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$

解题步骤 4.2

将所有不包含 $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $13$ 。

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1 - 13$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = 2 x + 1 - 13 - 4 x$

解题步骤 4.2.3

从 $2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x + 1 - 13$

解题步骤 4.2.4

从 $1$ 中减去 $13$ 。

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x - 12$

解题步骤 5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 4 \sqrt{9 + 4 x})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6

化简方程的两边。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 + 4 x}$ 重写成 ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 4)}^{2} {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

将 ${({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

约去公因数。

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

重写表达式。

$16 {(9 + 4 x)}^{1} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

化简。

$16 (9 + 4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

运用分配律。

$16 \cdot 9 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

乘。

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解题步骤 6.2.1.6.1

将 $16$ 乘以 $9$ 。

$144 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$144 + 64 x = {(- 2 x - 12)}^{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简 ${(- 2 x - 12)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

将 ${(- 2 x - 12)}^{2}$ 重写为 $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ 。

$144 + 64 x = (- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$

解题步骤 6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用分配律。

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x - 12) - 12 (- 2 x - 12)$

解题步骤 6.3.1.2.2

运用分配律。

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x - 12)$

解题步骤 6.3.1.2.3

运用分配律。

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 6.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 6.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$144 + 64 x = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 6.3.1.3.1.4

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

解题步骤 6.3.1.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 12$ 。

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x - 12 \cdot - 12$

解题步骤 6.3.1.3.1.6

将 $- 12$ 乘以 $- 12$ 。

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x + 144$

解题步骤 6.3.1.3.2

将 $24 x$ 和 $24 x$ 相加。

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 48 x + 144$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$4 x^{2} + 48 x + 144 = 144 + 64 x$

解题步骤 7.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $64 x$ 。

$4 x^{2} + 48 x + 144 - 64 x = 144$

解题步骤 7.2.2

从 $48 x$ 中减去 $64 x$ 。

$4 x^{2} - 16 x + 144 = 144$

解题步骤 7.3

从等式两边同时减去 $144$ 。

$4 x^{2} - 16 x + 144 - 144 = 0$

解题步骤 7.4

合并 $4 x^{2} - 16 x + 144 - 144$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.1

从 $144$ 中减去 $144$ 。

$4 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

解题步骤 7.4.2

将 $4 x^{2} - 16 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{2} - 16 x = 0$

解题步骤 7.5

从 $4 x^{2} - 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x) - 16 x = 0$

解题步骤 7.5.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x) + 4 x (- 4) = 0$

解题步骤 7.5.3

从 $4 x (x) + 4 x (- 4)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x - 4) = 0$

解题步骤 7.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 7.7

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.8

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.8.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 7.8.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 7.9

最终解为使 $4 x (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4$

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